Равногранный тетраэдр - реферат

Кировский Физико-математический лицей

Реферат на тему

''Характеристики равногранного тетраэдра''

Выполнил : ученик 10 ''А'' класса Соболев Александр

Проверила : Прокашева Маргарита Анатольевна

Киров 2003 г.

У хоть какого тетраэдра 4 верхушки, 6 рёбер, 4 грани, 4 трёхгранных угла, 6 двугранных углов, 12 плоских углов. Если все 6 рёбер равны, то равными будут и грани, и трёхгранные углы, и плоские; в данном случае тетраэдр - верный Равногранный тетраэдр - реферат. Из равенства всех 4 граней, но, ещё не следует корректность тетраэдра; тетраэдр, у которого все грани равны, именуется равногранным. Чтоб представить для себя равногранный тетраэдр, хороший от правильного, возьмём случайный остроугольный треугольник из бумаги и будем сгибать его по средним линиям. Тогда три верхушки сойдутся в одну точку, а половинки сторон Равногранный тетраэдр - реферат замкнутся, образуя боковые рёбра тетраэдра (рис. 2).

Перечислим сейчас характеристики тетраэдра, каждое из которых является нужным и достаточным условием равногранности, включая определение:

(0) Грани равны.

(1) Скрещивающиеся рёбра попарно равны (2) Трёхгранные углы равны.

(3) Противолежащие двугранные углы равны.

(4) Два плоских угла, опирающиеся на одно ребро, равны.

(5) Сумма плоских углов при каждой Равногранный тетраэдр - реферат верхушке равна 180.

(6) Развёртка тетраэдра - треугольник либо параллелограмм

(7) Описанный параллелепипед - прямоугольный.

(8) Тетраэдр имеет три оси симметрии.

(9) Общие перпендикуляры скрещивающихся рёбер попарно перпендикулярны.

(10) Средние полосы попарно перпендикулярны.

(11) Периметры граней равны.

(12) Площади граней равны.

(13) Высоты (тетраэдра) равны. 19=>18

(14) Отрезки, соединяющие верхушки с центром масс пртивоположных граней, равны.

(15) Радиусы обрисованных около граней окружностей равны.

(16) Центр Равногранный тетраэдр - реферат масс (тетраэдра) совпадает с центром описанной сферы.

(17) Центр масс (тетраэдра) совпадает с центром вписанной сферы.

(18) Центр вписанной сферы совпадает с центром описанной.

(19) Вписанная сфера касается граней в центрах обрисованных около их окружностей.

(20) Сумма наружных единичных векторов, перпендикулярных к граням, равна 0 (рис. 4).

(21) Сумма косинусов всех двугранных углов равна 2.

Все перечисленные условия Равногранный тетраэдр - реферат являются сразу и качествами и признаками равногранного тетраэдра. Чтоб вывести равногранность из какого-либо условия, нужно выстроить целую цепочку промежных критерий, в какой каждое прямое следствие предшествующего.

Проще всего устанавливается, что (0)(1)(2)(3)(4).

Докажем (0)(1).

Все грани тетраэдра АВСD равны по условию. Разглядим треугольники АDВ и DАС: АD – общая, тогда АВ равна Равногранный тетраэдр - реферат или DС (если так, то из равенства треугольников АDВ и DАС следует АС=DВ; а из равенства треугольников АDВ и СВD следует АD=ВС, т.е. скрещивающиеся рёбра попарно равны), или АС (если так, то из равенства треугольников АDВ и DАС следует DВ=DС, т.е. треугольник – равнобедренный, а Равногранный тетраэдр - реферат другие – нет, т.е. противоречие)

По условию АВ=DС, ВС=АD, АС=ВD (рис.1), тогда треугольники АВD, СDВ, ВАС равны по третьему признаку равенства.

Докажем (1)(2).

Из (1) следует, что треугольники АВD, СDВ, ВАС (рис.1) равны (подтверждено выше). Тогда равны и надлежащие углы треугольников, т.е. трёхгранные углы ВАСD Равногранный тетраэдр - реферат, АВСD, САВD, DАВС равны, т.к. хоть какой трёхгранный угол совершенно точно определяется своими 3-мя плоскими углами.

Т.к. трёхгранный угол совершенно точно определяется своими 3-мя плоскими углами, то сдедующие подтверждения будут подобны предудущему.

Далее можно рассуждать по последующей схеме: (4)=>(5)=>(6)=>(1) (откуда уже следует равносильность первых 6 критерий).

Докажем (4)=>(5).

Докажем (5)=>(6).

Докажем (6)=>(1).

Наш последующий шаг - подтверждение равносильности (1)(7).

Докажем (1)(7).

По правде, так как скрещиваю­щиеся ребра тетраэдра — диагонали граней описанного параллелепипеда, из попарного равенства ребер следует, что грани опи­санного параллелепипеда Равногранный тетраэдр - реферат — прямо­угольники и напротив.

Сейчас мы хотим предложить рассуж­дать по схеме (7)=>(8)=>(9)=>(10)=>(7).

Докажем (7)=>(8).

Докажем (8)=>(9).

Докажем (9)=>(10).

Докажем (10)=>(7).

Последующая цепочка рассуждений (0)=>(11),(12),(13),(14),(15). Мы Равногранный тетраэдр - реферат докажем, что (11)=>(1), (12)=>(3), (13)=>(12), (14)=>(1), (4)=>(15); тем будет установлена равносильность первых 15 параметров.

Докажем (11)=>(1).

Докажем (12)=>(3).

Докажем (13)=>(12).

Докажем (14)=>(1).

Напишем ещё три таких соотношения для трёх других граней:

(DO3 )2 =1/3*((a2 )2 +(b2 )2 +(c1 )2 ) + 1/9*((a1 )2 +(b1 )2 +(c2 )2 );

(DO2 )2 =1/3*((a2 )2 +(b1 )2 +(c2 )2 ) + 1/9*((a1 )2 +(b2 )2 +(c1 )2 );

(DO1 )2 =1/3*((a1 )2 +(b2 )2 +(c2 )2 ) + 1/9*((a2 )2 +(b1 )2 +(c1 )2 ).

По условию DO1 =DO2 =DO Равногранный тетраэдр - реферат3 =DO4 приравняем, к примеру, DO1 =DO2 , получаем :

1/3*((a1 )2 +(b2 )2 +(c2 )2 ) + 1/9*((a2 )2 +(b1 )2 +(c1 )2 ) = 1/3*((a2 )2 +(b1 )2 +(c2 )2 ) + 1/9*((a1 )2 +(b2 )2 +(c1 )2 ),

1/3*(a1 )2 + 1/3*(b2 )2 + 1/9*(a2 )2 + 1/9*(b1 )2 = 1/3*(a2 )2 + 1/3*(b1 )2 + 1/9*(a1 )2 + 1/9*(b2 )2 ,

2/9*(a1 )2 + 2/9*(b2 )2 = 2/9*(a2 )2 + 2/9*(b1 )2 ,

(a1 )2 + (b2 )2 = (a2 )2 + (b1 )2 (***),

Приравняв DO3 =DO4 , получаем :

1/3*((a2 )2 +(b2 )2 +(c1 )2 ) + 1/9*((a1 )2 +(b1 )2 +(c2 )2 ) = 1/3*((a1 )2 +(b1 )2 +(c1 )2 ) + 1/9*((a Равногранный тетраэдр - реферат2 )2 +(b2 )2 +(c2 )2 ),

1/3*(a2 )2 + 1/3*(b2 )2 + 1/9*(a1 )2 + 1/9*(b1 )2 = 1/3*(a1 )2 + 1/3*(b1 )2 + 1/9*(a2 )2 + 1/9*(b2 )2 ,

2/9*(a2 )2 + 2/9*(b2 )2 = 2/9*(a2 )2 + 2/9*(b1 )2 ,

(a2 )2 + (b2 )2 = (a1 )2 + (b1 )2 вычитая из этого равенства (***) получаем :

(a2 )2 -(a1 )2 = (a2 )2 -(a1 )2 , т.е. получаем, что (a2 )2 =(a1 )2 , аналогично находим (b2 )2 =(b1 )2 , (c2 )2 =(c1 )2 , т.е. получим (1).

Докажем (4)=>(15).

Докажем сейчас, что случай, когда углы ADB и АСВ не равны, неосуществим. Представим, что углы ADB + АСВ = 180° и угол ADB не = АСВ. Пусть для определенности угол ADB ту­пой. Поверхность тетраэдра ABCD можно так «развернуть» на плоскость Равногранный тетраэдр - реферат АВС, что образы Dа , Db и Dc точки D попадут па описанную окружность треугольника АВС; при всем этом направле­ние поворота боковой грани вокруг ребра основания выбирается в согласовании с тем, равны ли углы, опирающиеся на это ребро, либо же они составляют в сумме 180°. В процессе разворачивания точка D Равногранный тетраэдр - реферат движется по окружностям, плоскости которых пер­пендикулярны прямым АВ, ВС и СА. Эти ок ружности лежат в различных плоскостях, потому любые две из их имеют менее 2-ух общих точек. Но две общих точки есть у каждой пары этих окружностей: точка D и точка, симметричная ей относительно плоскости АВС. Как следует, точки Равногранный тетраэдр - реферат Dа , Db и Dc попарно раз­личны. Не считая того, ADb =ADc , BDa =BDc , CDa =CDb . Развертка смотрится последующим образом: в окружность вписан треугольник ADc B с тупым углом Dc ; из точек А и В проведены хорды ADb и BDa , равные ADc и BDc соответственно; С — сере­дина Равногранный тетраэдр - реферат одной из 2-ух дуг, данных точками Da и Db . Одна из се­редин этих 2-ух дуг симметрична точке Dc относительно прямой, проходящей через середину отрезка АВ перпендикулярно ему; эта точка нам не подходит. Разыскиваемая развертка изображена на рис. . Углы при верхушках Da , Db и Dc шестиугольника ADc BDa Равногранный тетраэдр - реферат CDb дополняют до 180° углы треугольника АВС, по­этому их сумма равна 360°. Но эти углы равны плоским углам при верхушке D тетраэдра ABCD, потому их сумма меньше 360°. Получено противоречие.

Докажем другие 5 параметров

Докажем (16).

Докажем (19).

Докажем (20).

Докажем, что сумма проекции всех данных векторов на всякую прямую L равна 0. Разглядим для этого проекцию Равногранный тетраэдр - реферат полиэдра на плоскость, перпендикулярную L. Проекция полиэдра покрыта проекциями его граней в два слоя (видимые сверху, видимые снизу). Приписав площадям проекций граней 1-го типа ''+'', другого типа ''–'', получим, что сумма площадей проекций с учётом знака равна 0. Заметим сейчас, что площадь проекции грани равна длине проекции соответственного вектора на прямую L, причём для Равногранный тетраэдр - реферат граней различного типа проекции векторов обратно ориентированы. Как следует, сумма проекций векторов на прямую L тоже равна 0. Т.к. это утверждение справедливо для полиэдра, то оно справедливо и для тетраэдра

Докажем (21).

Задачки
  1. Рёбра равногранного тетраэдра равны a,b,c. Вычислите объём тетраэдра V, и радиус описанной сферы R.
  2. В равногранном тетраэдре ABCD опущена высота AH; H1 – точка скрещения высот грани BCD; h1 , h2 – длины отрезков, на которые одна из высот грани BCD делится точкой H1 .

а Равногранный тетраэдр - реферат) обоснуйте, что точки H и H1 симметричны относительно центра описанной окружности треугольника BCD.

б) обоснуйте, что AH2 =4h1 h2 .

    Обоснуйте, что в равногранном тетраэдре центры 4 вневписанных шаров являются верхушками тетраэдра равного данному и радиус вписанного шара в 2 раза меньше вневписанного шара.
Решения

1. Достроим данный тетраэдр до прямоугольного па Равногранный тетраэдр - реферат­раллелепипеда; пусть х, у и z — ребра этого параллелепипеда. Тогда х2 + у2 = а2 , у2 + z2 = b2 и z2 + х2 == с2 . Потому что R == d/2, где d — диагональ параллелепи­педа, а d2 = x2 + y2 + z2 , то R2 == (x2 + y2 + z2)/4 == (а2 + b2 +c2 )/8.

Складывая равенства х2 + у2 = а2 и z Равногранный тетраэдр - реферат2 + x2 == с2 и вычитая из их равенство y2 + z2 = b2 , получаем x2 = (a2 +c2 -b2 )/2 . Аналогично находим у2 и z2 . Потому что объем тетраэдра втрое меньше объема параллелепипеда, то V2 = (xyz)2 /9 = (а2 + b2 — c2 ) (а2 + c2 — b2 ) (c2 + b2 — a2 )/72

2. Достроим данный тетраэдр до прямоугольного парал­лелепипеда. Пусть AA1 — его Равногранный тетраэдр - реферат диагональ, О — его центр. Точка H1 является проекцией точки A1 на грань BCD, а центр O1 описанной окружности треугольника BCD — проек­цией точки О. Потому что О — середина отрезка AA1 , точки H и H1 симметричны относительно O1 .

Разглядим проекцию параллелепипеда на плоскость, пер­пендикулярную BD (рис. =>в Равногранный тетраэдр - реферат предстоящем решении исполь­зуются обозначения этого рисунка, а не обозначения в пространстве). Высота СС' треугольника BCD параллельна плоскости проекции, потому длины отрезков ВH1 и СН1 равны h1 и h2 , длины отрезков АН и А1 Н1 при проецировании не измени­лись. Потому что АН : A1H1 = АС : А1 В = 2 и Равногранный тетраэдр - реферат A1 H1 : ВН1 = CH1 : A1 H1 , то АН2 = 4(H1 A1 )2 = 4h1 h2 .

3. Достроим данный тетраэдр до прямоугольного парал­лелепипеда. Точка скрещения биссекторных плоскостей двугранных углов тетраэдра (т. е. центр впи­санного шара) совпадает с центром О параллелепипеда. Рассмат­ривая проекции на плоскости, перпендикулярные ребрам тет­раэдра, просто проверить, что грани тетраэдра удалены Равногранный тетраэдр - реферат от вер­шин параллелепипеда, хороших от вершин тетраэдра, в два раза больше, чем от точки О. Как следует, эти верхушки являются центрами вневписанных шаров. Этим подтверждены оба утверж­дения.

Литература:

1. Энциклопедия для деток Аванта+ (том ''Математика'' )

2. Журнальчик ''Квант'' №7 1983 г.

3. ''Задачки по стереометрии'' Прасолов, Шарыгин.


rassuzhdajte-o-tele-hrista.html
rassuzhdenie-o-vernosti-i-izmene.html
rassuzhdeniya-gospozhi-misao-11-glava.html